GUÍA DE EVOLUCIÓN MATEMÁTICA

  

   RECORRIDO MATEMÁTICO

     CÁLCULO BÁSICO

     Lo primero en comprensión y estudio: los conjuntos y sumar, restar, multiplicar, dividir (y calcular raíces): útil e imprescindible en este mundo en el que vivimos, -con tecnología o sin ella-, es básico.

     Las matemáticas son como un juego de mesa en el que hay que seguir unas normas e instrucciones para que funcionen.
     ECUACIONES Y SISTEMAS

     Llegado un momento en el que se dominan las reglas básicas anteriores, se le agrega un poco de misterio: "las ecuaciones con una incógnita", un cálculo sencillo que permite, -sabiendo unos datos- hallar el dato que desconocíamos de forma directa.

     Avanzando en resolver "misterios" se aprende a calcular dos incógnitas teniendo dos ecuaciones.

     Añadiendo muchas incógnitas y muchas ecuaciones surge la necesidad de comprobar si con todo ello se puede obtener una solución, varias, infinitas o ninguna. Para esto existe al menos un método: El método de Cramer (he de reconocer que, para esto de los nombres, el haber visto películas que no tienen nada que ver con matemáticas ayuda), también hay algún teorema de existencia y unicidad no muy fáciles de comprender debido al rigor matemático.

     Y así, hay sistemas compatibles (con posible/s solución/es) e incompatibles no tienen solución. Esto requiere conocer las propiedades de las matrices y determinantes.
     NÚMEROS

     Durante los primeros años, se hacen cálculos con números naturales (los positivos sin números decimales), los enteros (cero, números positivos y negativos sin decimales), racionales aquellos que implican divisiones o fracciones no exactas, irracionales (números reales que no son racionales y su expresión decimal no es ni exacta ni periódica) ejemplo el número "pi", "e" y las raíces de números que no dan resultado exacto, los números reales (incluyen los racionales e irracionales), números imaginarios (son aquellos resultado de la raíz de un número negativo), y  números complejos (compuestos por una parte real y otra imaginaria "i").

     Estos últimos, los imaginarios tienen unas propiedades y "normas" particulares. (Norma entre comillas, pues rigurosamente la palabra "norma" en matemáticas tiene sentido de distancia o de distancia normalizada con valor unidad).  
     SOLUCIONES

     En algunos tipos de problema la solución con número complejo se desecha y se dice que "no tiene solución", pero según se avanza en el estudio de matemáticas se intenta dar una explicación de lo que significa dicho número complejo: tratándose de un círculo, la explicación es que el centro del círculo no se halla en el punto origen (0,0) de los ejes coordenados.
     En el mundo real los más utilizados habitualmente son los enteros, naturales y racionales.
     De forma más específica los irracionales se utilizan en cálculos geométricos y trigonométricos.
     Con respecto a las ecuaciones diferenciales se obtienen varios tipos de soluciones: una es la solución general (solución de la ecuación homogénea esto es: cuando se iguala a cero) y otra es la solución particular (cuando la ecuación se iguala a un número distinto de cero, es decir igualada a un valor particular en un punto dado de la función) y solución singular (una función que verifica la ecuación diferencial pero no se obtiene particularizando la solución general).
     En la mecánica de obtener una solución para la ecuación, a veces se obtienen puntos singulares (hacen infinito algún término) y con esto se pierden soluciones de la ecuación diferencial que inicialmente se quiere resolver.
     VECTORES
     Los denominados "vectores" tienen su teoría y propiedades de aplicación, pueden utilizar como herramienta los números complejos. Los vectores dan información sobre distancia o norma, dirección y sentido, por lo tanto, está asociado el concepto de ángulo. Es curioso advertir como gran número de explicaciones físicas y matemáticas no hacen distinción ni de incógnitas ni de datos conocidos, así como tampoco hacen distinción de si su explicación es con vectores o escalares, haciendo casi incomprensible dicha explicación, -esto lejos de enseñar, hace perder bastante el tiempo-.
     Las matemáticas abstractas pueden dejar absorto a cualquiera.
     ESTADÍSTICA
     La probabilidad, las sucesiones, progresiones aritméticas y geométricas con su frecuencia y normalidad crean patrones algo previsibles.
     FUNCIONES, SERIES Y SUCESIONES
     El término función, en matemáticas tiene múltiples expresiones que describen gráficas.
     Hay funciones polinómicas, donde se pueden utilizar los binomios como herramienta, logarítmicas, exponenciales, racionales, cuadráticas, de probabilidad. En cuanto a conjuntos hay funciones inversas, unidad, funciones compuestas, simples...
     El aumento increíble de datos y números que representan una expresión, necesitan de un análisis para saber si la sucesión lleva a una divergencia (dispersión de datos, datos sin conexión) o a una convergencia (los datos tienen un sentido, o apuntan a una solución o tendencia).
     Las funciones discretas, no confundir con funciones discontinuas de valores reales.
     CONJUNTOS
     Conjuntos: variaciones, combinaciones, permutaciones con repetición y sin repetición (predice el número de posibilidades de situar, combinar o variar elementos (cosas, números, personas, letras, listado de propiedades o cualidades, etc.); aquí un operador fundamental es el factorial, simbolizado con una admiración hacia abajo "n!", este realiza multiplicaciones de números enteros positivos seguidos, en orden decreciente, hasta llegar al uno.
     Logaritmos y número "e", también tienen sus propias propiedades peculiaridades algebraicas para suma, producto, inverso y demás operaciones. El número "e" es muy utilizado en leyes de crecimiento por ejemplo en microbiología y ambos se utilizan para expresar números grandes en esa forma más simple visualmente.
     A veces las matemáticas requeridas en física todavía no fueron explicadas en matemáticas, así a veces en física se hace uso de las integrales antes de haberlas estudiado en matemáticas, así como los rotacionales.
     DERIVADAS

     Se hace mucho hincapié en el concepto de derivada, (explica muchos conceptos abstractos respecto a las ecuaciones diferenciales o las diferenciales de funciones); -cuando han pasado muchos años quizá es conveniente el concepto, porque ya quedó medio olvidado por la rutina de centrarse solo en la resolución- y es que al final, con tanto uso hay que aprenderse todo el listado de las derivadas, porque así es más práctico y rápido. Hay derivadas totales, derivadas parciales, implícitas y las cíclicas, que se suelen utilizar en termodinámica [(δV/δT)·(δT/δP)·(δP/δV) = 1. La derivada parcial indica el cambio que experimenta una variable cuando se varía otra.

     Algunos operadores utilizan las derivadas, así por ejemplo está el operador gradiente con derivadas parciales de primer orden (nabla simbolizado con ∇) y el laplaciano que utiliza derivadas segundas (cuyo símbolo es Δ), estos operadores funcionan diferente según la dimensión, y tienen sus reglas particulares de álgebra. El Jacoviano es una matriz o determinante de derivadas parciales, se utiliza para cambiar de coordenadas, por ejemplo, pasar de cartesianas a polares. El Wronskiano es un determinante cuya primera fila son funciones y las siguientes filas son sucesivas derivadas (se utiliza para saber si dos soluciones de una diferencial son linealmente independientes).
     INTEGRALES
     Las integrales son la antítesis de las derivadas, (antiderivadas o primitivas se les llama también), Hay integrales generales propias e impropias. Las integrales generales se resuelven básicamente por alguno de los métodos:
- Primitivas: (de solución directa)
- Por sustitución
- Por partes
Existen muchos tipos de argucias para su resolución: por repetición, utilizando ecuaciones trigonométricas, descomposición en fracciones simples o múltiples, utilizando la derivación, o números complejos.
     No todas están tabuladas, pero sí hay un listado con la solución generalizada para prácticamente cualquier integral. (Es de agradecer, la verdad).
      Las integrales propias tienen un límite inferior y otro superior.
      Las integrales impropias se aproximan o transforman a propias mediante límites que tienden a infinito y tienen una solución finita. (Integral de Riemann).
      Mediante integrales simples se pueden hallar "áreas" bajo una curva, o longitudes de arco de una curva.
     Se pueden clasificar también en simples, dobles y triples.
Una aplicación práctica en física da sentido al paso de una integral simple a una doble y esta a una triple mediante el método de Green. Ejemplo flujo a través de una línea, de un área o de un volumen.
     ESPACIOS, COORDENADAS
      El espacio bidimensional con dos coordenadas se puede expresar en sistema cartesiano (x,y,z) o en polar (radio, ángulo), este último utiliza números complejos.
     En tres dimensiones los sistemas pueden expresarse en coordenadas cartesianas (x,y,z), polares cilíndricas (radio, ángulo) y en esféricas (radio, ángulo con la vertical llamado ángulo polar, ángulo en horizontal llamado ángulo azimutal).  
     APLICACIONES EN ESPACIOS VECTORIALES
     Transformaciones integrales lineales: Transformadas de Laplace, de Fourier y otras.
     Operadores diferenciales lineales: Divergencia, gradiente, rotacional, Laplaciano.
     OTROS OPERADORES
     Factoriales, funciones gamma, operadores de orden (igual, mayor que, menor que), operadores lógicos (no, and, or, nor, si).
     LÍMITES
     Los límites también pueden hallarse con dos dimensiones o con tres si es tridimensional.  
     EJES COORDENADOS
     En cuanto al tema de los ejes para representaciones gráficas es necesario advertir:
     En los primeros estudios: El eje vertical (ordenadas) se denomina "y", el eje horizontal (abscisas) se denomina "x" y en caso de representar números complejos la parte Im (Imaginaria) se representa en las ordenadas y la parte R en el eje de abscisas.
     En física en lugar de representaciones tridimensionales suelen dibujar solo la parte interesada y omitir algún eje, haciendo entonces representaciones: x,z ; y,z ; x,y.
     En matemáticas representan en tres dimensiones. El eje "z" suele ser la vertical, pero en representación "caballera" (tridimensional) el eje horizontal puede ser la "x" o la "y".
     Es también reseñable que los ejes pueden considerarse "fijos" o "giratorios". Imaginar esto sin un referente es difícil, pensar en los ejes imaginarios de un  planeta o estrella girando mientras el planeta o estrella permanece inmóvil o en movimiento (¡!). Creo que es más sano pensar en unas cámaras fotográficas que giran alrededor de un objeto quieto o en movimiento.
     INCREMENTO, DIFERENCIAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES
     Las ecuaciones diferenciables todo un mundo.
     El concepto de incremento puede llevar a confusión cuando no se especifica si es finito o infinitesimal:
     * Incremento infinitesimal es un diferencial.  Δ(x) →0          (1+Δ(x))^2=  1+2∙Δ(x)
     * Derivada.
     * Incremento finito.   (1+Δ(x))^2= 1+ Δ(x)^2 + 2∙Δ(x) No se puede despreciar ningún término.
     Una de las aplicaciones útiles de los diferenciales se encuentra en la teoría y propagación de errores.

Lo sorprendente de las ecuaciones diferenciales es que se pueden hallar varias incógnitas con una sola ecuación. (Esto me dejó perpleja).

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar en exactas y no exactas; homogéneas ordinarias de grado uno, dos, tres... "n" de orden superior; con coeficientes constantes, ecuaciones diferenciales no homogéneas lineales y no lineales; en las que no aparece la variable independiente o la dependiente; ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones de la forma (dy/dx)=G(ax+by); una vez dominado esto: Sistema de ecuaciones diferenciales autónomos no lineales; sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes y sistemas lineales no homogéneos. Los sistemas de ecuaciones diferenciales se resuelven mediante métodos matriciales. Además, hay algunas diferenciales particulares con nombre por ejemplo Ecuaciones de Cauchy-Euler, ecuación de Ricatti, ecuación de Bernouilli.
     Mediante ecuaciones diferenciales se estudian cuerdas, muelles, calor, vibraciones, etc.
     TEORÍA DE CUERDAS
     La teoría de cuerdas que he estudiado, es un tratamiento de estudio de ondas o de una cuerda mediante una ecuación diferencial con condiciones iniciales conocidas o de valor inicial. Cuando oigo hablar de teoría de cuerdas referidas al universo no entiendo esa narrativa imaginaria de la que hablan, lo único que se parece es que a la cuerda estudiada se la representa por dos veces la longitud, y que esta, debido a su movimiento describe trayectorias en forma senoidal y/o cosenoidal al igual que líneas curvas.
     Y por ahora, hasta aquí, una breve exposición de un recorrido a través de las matemáticas, sin duda, la extensión de estudios matemáticos es mucho más amplia, y variada, teniendo en cuenta que hay varias corrientes matemáticas, con simbología particular para cada una, solo hay que pensar que una multiplicación por ejemplo se puede realizar utilizando distintas metodologías, formas o signos, cada cultura tiene sus preferencias.
     NOVEDAD
     La última novedad encontrada ha sido en YouTube: El número que los ordenadores no podrían calcular. Eduardo Sáenz de Cabezón, Universidad de la Rioja. La incógnita de ¿cual es el número más grande conocido? y números computables; el infinito no cuenta como número. A partir del minuto 37:45 más o menos empieza algo realmente novedoso.
     Aquí les dejo el enlace, pueden también realizar la búsqueda con la palabra clave "números gigantes" en YouTube.
https://www.youtube.com/watch?v=EtSN8GGBwsM

Equivalencias

Fórmula de recurrencia

PD: Para saber cual es el número más grande conocido vean el vídeo hasta el final.